【精编】高一数学暑假作业:必修一集合、函数、基本初等函数三、基本函数(1)

发布于:2021-06-24 01:19:11

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三、基本初等函数

一.选择题(共 12 小题)

1.若 a>1,b>1,且 lg(a+b)=lga+lgb,则 lg(a﹣1)+lg(b﹣1)的值( )

A.等于 1 B.等于 lg2 C.等于 0 D.不是常数 2.已知函数 f(x)=ax+a﹣x,且 f(1)=3,则 f(0)+f(1)+f(2)的值是( )

A.14 B.13 C.12 D.11 3.若 a=log20.5,b=20.5,c=0.52,则 a,b,c 三个数的大小关系是( ) A.a<b<c B.b<c<a C.a<c<b D.c<a<b

4.二次函数 y=﹣x2﹣4x(x>﹣2)与指数函数

的交点个数有( )

A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个

5.已知 log7[log3(log2x)]=0,那么 x 等于( ) A. B. C. D. 6.已知三个函数 f(x)=2x+x,g(x)=x﹣1,h(x)=log3x+x 的零点依次为 a,b,c,则( ) A.a<b<c B.b<a<c C.c<a<b D.a<c<b

7.已知函数 f(x)=

,设 a∈R,若关于 x 的不等式 f(x)≥| +a|在 R

上恒成立,则 a 的取值范围是( ) A.[﹣ ,2] B.[﹣ , ] C.[﹣2 ,2] D.[﹣2 , ]

8.函数 f(x)=x2﹣bx+c 满足 f(1+x)=f(1﹣x)且 f(0)=3,则 f(bx)和 f(cx)的大小

关系是( )

A.f(bx)≤f(cx) B.f(bx)≥f(cx) C.f(bx)>f(cx) D.大小关系随 x 的不同而不同

9.已知函数 f(x)=ln ,若 f(

)+f(

)+…+f(

)=503(a+b),则 a2+b2

的最小值为( )

A.6 B.8 C.9 D.12 10.已知函数 f(x)=(ex﹣e﹣x)x,f(log5x)+f(log

x)≤2f(1),则 x 的取值范围是

()

1

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A.[ ,1] B.[1,5] C.[ ,5] D.(﹣∞, ]∪[5,+∞)

11.函数 y=

的图象大致是( )

A.

B.

C.

D.

12.函数 y=

的部分图象大致为( )

A.

B.

C.

D.

二.填空题(共 4 小题)

13.已知 y=|log2x|的定义域为[a,b],值域为[0,2],则区间[a,b]的长度 b﹣a 的最小值





14.已知 f(x)=

,则不等式[f(x)]2>f(x2)的解集为



15.已知函数 f(x)=

的反函数是 f﹣1(x),则 f﹣1( )=



16.若函数 f(x)=log2(x+1)+a 的反函数的图象经过点(4,1),则实数 a=



三.解答题(共 2 小题) 17.已知函数

(a>0,a≠1)是奇函数.

(1)求实数 m 的值; (2)判断函数 f(x)在(1,+∞)上的单调性,并给出证明; (3)当 x∈(n,a﹣2)时,函数 f(x)的值域是(1,+∞),求实数 a 与 n 的值. 18.已知函数 F(x)=ex 满足 F(x)=g(x)+h(x),且 g(x),h(x)分别是定义在 R 上的 偶函数和奇函数. (1)求函数 h(x)的反函数;

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(2)已知 φ(x)=g(x﹣1),若函数 φ(x)在[﹣1,3]上满足 φ(2a+1>φ(﹣ ),求实 数 a 的取值范围; (3)若对于任意 x∈(0,2]不等式 g(2x)﹣ah(x)≥0 恒成立,求实数 a 的取值范围.
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三、基本函数 选择题(共 12 小题) 1.【解答】解:∵lg(a+b)=lga+lgb, ∴lg(a+b)=lg(ab)=lga+lgb,∴a+b=ab,∴lg(a﹣1)+lg(b﹣1) =lg[(a﹣1)×(b﹣1)]=lg(ab﹣a﹣b+1) =lg[ab﹣(a+b)+1]=lg(ab﹣ab+1)=lg1=0.故选 C. 2.【解答】解:由题意,函数 f(x)=ax+a﹣x,且 f(1)=3,可得 a+ =3,

又 f(2)=a2+a﹣2=

﹣2=7,f(0)=1+1=2

所以 f(0)+f(1)+f(2)=2+3+7=12 故选 C 3.【解答】解:a=log20.5<0,b=20.5>1,0<c=0.52<1, 则 a<c<b,则选:C. 4.【解答】解:因为二次函数 y=﹣x2﹣4x=﹣(x+2)2+4(x>﹣2),

且 x=﹣1 时,y=﹣x2﹣4x=3,

=2,

则在坐标系中画出 y=﹣x2﹣4x(x>﹣2)与

的图象:

由图可得,两个函数图象的交点个数是 1 个,故选 C.

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5.【解答】解:由条件知,log3(log2x)=1, ∴log2x=3,

∴x=8,∴x =

故选:D. 6.【解答】解:令 f(x)=2x+x=0,解得 x<0,令 g(x)=x﹣1=0,解得 x=1,由 h(x)=log3x+x,



=﹣1+ <0,h(1)=1>0,因此 h(x)的零点 x0∈

.则 b>c>a.故选:

D.

7.【解答】解:当 x≤1 时,关于 x 的不等式 f(x)≥| +a|在 R 上恒成立,

即为﹣x2+x﹣3≤ +a≤x2﹣x+3,即有﹣x2+ x﹣3≤a≤x2﹣ x+3,

由 y=﹣x2+ x﹣3 的对称轴为 x= <1,可得 x= 处取得最大值﹣ ;

由 y=x2﹣ x+3 的对称轴为 x= <1,可得 x= 处取得最小值 ,

则﹣ ≤a≤ ①当 x>1 时,关于 x 的不等式 f(x)≥| +a|在 R 上恒成立,

即为﹣(x+ )≤ +a≤x+ ,即有﹣( x+ )≤a≤ + ,

由 y=﹣( x+ )≤﹣2

=﹣2 (当且仅当 x= >1)取得最大值﹣2 ;由 y= x+

≥2

=2(当且仅当 x=2>1)取得最小值 2.

则﹣2 ≤a≤2②

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由①②可得,﹣ ≤a≤2. 另解:作出 f(x)的图象和折线 y=| +a| 当 x≤1 时,y=x2﹣x+3 的导数为 y′=2x﹣1, 由 2x﹣1=﹣ ,可得 x= , 切点为( , )代入 y=﹣ ﹣a,解得 a=﹣ ; 当 x>1 时,y=x+ 的导数为 y′=1﹣ , 由 1﹣ = ,可得 x=2(﹣2 舍去), 切点为(2,3),代入 y= +a,解得 a=2. 由图象*移可得,﹣ ≤a≤2. 故选:A.

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8.【解答】解:∵f(1+x)=f(1﹣x),

∴f(x)图象的对称轴为直线 x=1,由此得 b=2.

又 f(0)=3,∴c=3.

∴f(x)在(﹣∞,1)上递减,在(1,+∞)上递增. 若 x≥0,则 3x≥2x≥1,∴f(3x)≥f(2x). 若 x<0,则 3x<2x<1,∴f(3x)>f(2x).∴f(3x)≥f(2x).故选 A.

9.【解答】解:∵f(x)+f(e﹣x)=

=lne2=2,

∴ 503 ( a+b ) =f (

) +f (

) + … +f (



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=

+

+

=

=2012,

+



∴a+b=4,∴a2+b2≥

= =8,当且仅当 a=b=2 时取等号.故选:B.

10.【解答】解:∵函数 f(x)=(ex﹣e﹣x)x,∴f(﹣x)=﹣x(e﹣x﹣ex)=(ex﹣e﹣x)x=f (x),∴函数 f(x)是偶函数. ∵f′(x)=(ex﹣e﹣x)+x(ex+e﹣x)>0 在[0,+∞)上成立. ∴函数 f(x)在[0,+∞)上单调递增.f(log5x)+f(log x)≤2f(1),

∴2f(log5x)≤2f(1),即 f(log5x)≤f(1),

∴|log5x|≤1,∴

.故选:C.

11.【解答】解:∵f(﹣x)=﹣f(x)是奇函数,

所以排除 A,B 当 x=1 时,f(x)=0 排除 C 故选 D

12.【解答】解:∵y=f(x)=



∴f(﹣x)=

=

=f(x),

∴f(x)是偶函数,图象关于 y 轴对称,所以排除 B,C.

∵f(2)=

>0,∴(2,f(2))在 x 轴上方,所以排除 A,

故选:D.

二.填空题(共 4 小题)

13.【解答】解:∵y=|log2x|,∴x=2y 或 x=2﹣y.∵0≤y≤2,

∴1≤x≤4,或

.即{a=1,b=4}或{a= ,b=1}.

于是[b﹣a]min= .故答案为: .

14.【解答】解:∵f(x)=

,∴由[f(x)]2>f(x2)知

,∴



,或





,或 x>1.故答案为:(0, )∪(1,+∞).

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15.【解答】解:由题意,x≤0,2x= ,∴x=﹣1,

∴f﹣1( )=﹣1.故答案为﹣1.

16.【解答】解:函数 f(x)=log2(x+1)+a 的反函数的图象经过点(4,1), 即函数 f(x)=log2(x+1)+a 的图象经过点(1,4), ∴4=log2(1+1)+a∴4=1+a,a=3.故答案为:3. 三.解答题(共 2 小题)

17.【解答】解:(1)∵函数

(a>0,a≠1)是奇函数.

∴f(﹣x)+f(x)=0 解得 m=﹣1.

(2)由(1)及题设知:







∴当 x1>x2>1 时,

∴t1<t2.

当 a>1 时,logat1<logat2,即 f(x1)<f(x2). ∴当 a>1 时,f(x)在(1,+∞)上是减函数. 同理当 0<a<1 时,f(x)在(1,+∞)上是增函数. (3)由题设知:函数 f(x)的定义域为(1,+∞)∪(﹣∞,﹣1), ∴①当 n<a﹣2≤﹣1 时,有 0<a<1.由(1)及(2)题设知:f(x)在为增函数,由其

值域为(1,+∞)知

(无解);

②当 1≤n<a﹣2 时,有 a>3.由(1)及(2)题设知:f(x)在(n,a﹣2)为减函数,

由其值域为(1,+∞)知



,n=1.

18.【解答】解:(1)由题意可得:ex=g(x)+h(x),e﹣x=g(﹣x)+h(﹣x)=g(x)﹣h

(x),联立解得:g(x)=

,h(x)=



由 y=

,化为:(ex)2﹣2yex﹣1=0,ex>0,解得 ex=y+



∴h﹣1(x)=ln

(x∈R).

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(2)φ (x)=g(x﹣1),函数φ (x)在[﹣1,3]上满足φ (2a+1>φ (﹣ ),转化为:

函数 g(x)在[﹣2,2]上满足:g(2a)>g(﹣ ﹣1),

由于函数 g(x)在[0,+∞)上单调递增,且函数 g(x)为偶函数,

∴|2a|>|﹣ ﹣1|,﹣2≤2a≤2,﹣2≤﹣ ﹣1≤2,解得 a∈





(3)不等式 g(2x)﹣ah(x)≥0,即



≥0,

令 t=ex﹣e﹣x,由 x∈(0,2],可得 t∈(0,e2﹣e﹣2],

不等式转化为:t2+2﹣at≥0,∴a≤t+ ,∵t+ ≥2 ,当且仅当 t= 时取等号.

∴a≤2 .

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