2019届安徽省马鞍山市第二中学高三下学期模拟考试数学(文)试题(解析版)

发布于:2021-06-19 04:30:44

2019 届安徽省马鞍山市第二中学高三下学期模拟考试数学 (文)试题

一、单选题

1.已知集合

,则集合 ∩ 中子集的个数是

()

A.4

B.8

C.16

D.32

【答案】B

【解析】根据题意,求出集合 M 与 N,进而由交集的定义求得 M∩N,结合集合的元素

数目与集合的子集数目分析可得答案.

【详解】

根据题意,A={x∈N|-2≤x<4}={0,1,2,3},

B={x| ≥0}={x|-1≤x<3}, 则 A∩B={0,1,2}, 则集合 A∩B 中子集的个数是 23=8; 故选:B. 【点睛】 本题考查集合的交集计算,关键是求出集合 M、N,属于基础题. 2.已知 i 为虚数单位,m∈R,若复数(2-i)(m+i)在复*面内对应的点位于实轴上,

则复数 的虚部为( )

A.1

B.i

C.

D.

【答案】A

【解析】根据复数的运算以及复数的几何意义,求出 m 的值结合复数虚部的定义进行

求解即可.

【详解】

(2-i)(m+i)=2m+1+(2-m)i,

若复数在复*面内对应的点位于实轴上,

则 2-m=0 得 m=2,

复数



即复数的虚部是 1,

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故选:A.

【点睛】

本题主要考查复数的计算,结合复数的几何意义是解决本题的关键.

3.设 m、n 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的*面,则 α∥β 的一个充分条件是

()

A. , ,

B. , ,

C. , , 【答案】D

D. , ,

【解析】利用线面位置关系和充分条件的定义对每一个选项逐一判断得解.

【详解】

对于选项 A,B,若 n?α,则 α⊥β,故 A,B 错误;

对于选项 C,若 α∩β=l,m∥n∥l,m,n 为 α,β 外的直线,显然有 m∥α,n∥β,故 C

错误;

对于选项 D,若 m⊥α,m∥n,则 n⊥α,又 n⊥β,故 α∥β,故 D 正确.

故选:D.

【点睛】

本题主要考查空间几何元素的位置关系的判断证明,考查充分条件的判断,意在考查学

生对这些知识的理解掌握水*和分析推理能力.

4.已知函数

,若

,则 a、b、c

之间的大小关系是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】根据题意,求出函数 的定义域,结合函数的解析式可得

,即函数

为偶函数,设

,利用复合函数单调性的判断方法分析可得 在

, 上为减函数,又由 的值,可得在区间 , 区间 , 上为增函数,据此分析可得答案. 【详解】

上,

,由此可得 在

根据题意,函数

,其定义域为 ,





即函数 为偶函数,

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,有





,则



当 时,





为减函数且 , 为增函数,



在 , 上为减函数,

又由

,则在区间 , 上,



又由

,则 在区间 , 上为增函数,

又由



则有



故选: . 【点睛】

本题考查复合函数的单调性的判定和应用,考查函数奇偶性的判断和应用,意在考查学

生对这些知识的理解掌握水*和分析推理能力.

5.如图,在*行四边形 ABCD 中,AB=4,AD=2,∠BAD=60°,点 E 在 CD 上,且点

E 是三等分点,靠*点 D,BE 与 AC 的交点为 F,则

=( )

A.

B.

C.

D.4

【答案】C 【解析】建立坐标系,求出相关的坐标,推出所求向量的坐标.然后求解向量的数量积

即可.

【详解】

建立如图所求的坐标系:则











所以 的方程:

, 的方程为:



联立直线方程可得



所以







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故选: .
【点睛】 本题考查向量的数量积的应用,向量的坐标运算,考查转化思想以及计算能力. 6.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某组合体的三视图,则该几 何体的表面积为( )

A. B. C. D. 【答案】A 【解析】几何体为半圆柱和直三棱柱的组合体,作出直观图计算面积即可. 【详解】 由三视图可知几何体为半圆柱与三棱柱的组合体, 其中半圆柱的底面半径为 1,高为 2,三棱柱的底面为直角三角形,直角边为 1 和 2, 高为 2,

几何体的表面积为



故选: .

【点睛】

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本题考查三视图还原几何体,考查组合体的表面积的计算,意在考查学生对这些知识的 理解掌握水*和分析推理能力.

7.已知函数

的部分图象如图所示,其



把函 f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把所得曲线 向左*移 2 个单位长度,得到函数 g(x)的图象,则 g(x)的解析式为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】根据条件先求出 和 ,结合函数图象变换关系进行求解即可.

【详解】

,即

















则 ,则 ,即

,得 ,





把函 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,得到



再把所得曲线向左*移 2 个单位长度,得到函数 的图象,







故选: . 【点睛】 本题主要考查三角函数图象的应用,根据条件求出 和 的值以及利用三角函数图象*

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移变换关系是解决本题的关键.

8.已知中心在原点的椭圆 C 的左焦点恰好为圆 F:

的圆心,有两顶点

恰好是圆 F 与 y 轴的交点.若椭圆 C 上恰好存在两点关于直线 y=x+t 对称,则实数 t

的取值范围为( )

A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】求得圆 的圆心,可得椭圆的 ,求得圆 与 轴的交点,可得 ,进而得到 ,可

得椭圆方程,设出椭圆上关于直线

对称的两点连线 的方程为

,设两

点的坐标为 , , , ,联立椭圆方程,运用判别式大于 0,以及韦达定理和 中点坐标公式,可得中点坐标代入已知直线,可得 , 的关系,进而得到所求范围. 【详解】

的圆心为 ,可得椭圆的 ,

圆 与 轴的交点为

,可得椭圆的



可得



即有椭圆方程为



设椭圆上关于直线

对称的两点连线 的方程为



设两点的坐标为 , , ,



,得











设 . 的中点 , ,







中点在

上,

,即

,得



故选: . 【点睛】 本题考查椭圆的方程和性质,考查直线方程和椭圆方程联立,运用韦达定理和中点坐标 公式,考查化简整理的运算能力,属于中档题.

9.对于函数 y=f(x),y=g(x),若存在 x0 ,使 f( x0 )=g(- x0 ),则称 M( x0 ,f( x0 )),

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N(- x0 ,g(- x0 ))是函数 f(x)与 g(x)图象的一对“雷点”,已知函数 f(x)是定 义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,恒有 f(x+1)=f(x),且 0≤x<1 时,f(x)=x,若 g
(x)= ? x ?1?2 ? a,(-2 ? x ? 0) ,函数 f(x)与 g(x)的图象怡好存在一对“雷点”,

则实数 a 的取值范围为( )

A. ?0,1?

B.

? ??

?1,

?

1 4

? ??

C.

? ??

?1,

?

1 4

? ??

?

?0,1?

D.

? ??

?1,

?

1 4

? ??

?

?

0,1?

【答案】C

【解析】由即时定义的理解得:函数 f (x) 与 g(x) 的图象怡好存在一对“雷点”,即函数

y ? f (x) 的图象与函数 y ? h(x) ? (x ?1)2 ? a 在 (0, 2) 恰有一个交点,函数

y ? h(x) ? (x ?1)2 ? a 的图象是将函数 y ? (x ?1)2 ? a 的图象向上或向下*移| ?a | 个单
位,当曲线 y ? h(x) ? (x ?1)2 ? a 的图象与直线 y ? x ?1相切时,求得 a ? ? 1 ,由图可 4
知 ?1? ?a ? 0 或 1 ? ?a ? 1,即得解. 4
【详解】
函数 f (x) 与 g(x) 的图象怡好存在一对“雷点”,

即函数 y ? f (x) 的图象与函数 y ? h(x) ? (x ?1)2 ? a 在 (0, 2) 恰有一个交点,

函数 y ? h(x) ? (x ?1)2 ? a 的图象是将函数 y ? (x ?1)2 的图象向上或向下*移| ?a | 个单 位, 当曲线 y ? h(x) ? (x ?1)2 ? a 的图象与直线 y ? x ?1相切时,

(x ?1)2 ? a ? x ?1,? x2 ? 3x ? 2 ? a ? 0 ,
所以 ?=9 ? 4(2 ? a) ? 0,?a ? ? 1 . 4
由图可知: ?1? ?a ? 0 或 1 ? ?a ? 1,
4 即实数 a 的取值范围为: ?1 ? a ? ? 1 或0 ? a ? 1 ,
4
故选: C .

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【点睛】 本题考查了对即时定义的理解、函数图象的作法及函数图象的*移,考查函数的图像和 性质的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水*和分析推理能力.

二、填空题

10.在曲线

的所有切线中,斜率最小的切线方程为______.

【答案】 【解析】根据导数的几何意义可知在某点处的导数为切线的斜率,先求出导函数 , 利用配方法求出导函数的最小值即为切线最小斜率,再用点斜式写出化简. 【详解】

曲线



, 时, 切线最小斜率为 2,

此时,



切线方程为

,即



故答案为:



【点睛】

本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及二次函数的最值等基础题知

识,考查运算求解能力,属于基础题.

11.已知

,则 tanα=______.

【答案】

【解析】利用同角三角函数关系式和二倍角公式进行化简即可. 第 8 页 共 19 页

【详解】

, ,

























故答案为:

【点睛】

本题主要考查三角函数值的化简和求值,利用同角三角函数关系式和二倍角公式进行化

简是解决本题的关键.

12.已知 x、y 满足约束条件

,若

的最大值为 ,则 a=______.

【答案】2 【解析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,结合函数的单调性转化求 解 即可. 【详解】

、 满足约束条件

的可行域如图: 的几何意义是可行域内的点与坐标原点

连线的斜率.

由可行域可知 , ,



所以 , ,

,,

所以 是关于 的增函数,函数的最大值为 ,

可得

,解得 .

故答案为:2.

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【点睛】

本题主要考查线性规划求最值,考查直线斜率的应用和函数的单调性的应用,意在考查

学生对这些知识的理解掌握水*和分析推理能力.

13.已知△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若-ccosB 是



的等差中项,则 sin2A?tan2C 的最大值为______.

【答案】

【解析】由





的等差中项,结合正弦定理,可以求出角 为 ,



,求

解. 【详解】





的最大值,将 用 替换后,换元用基本不等式处理,可得
的等差中项, , ,



为三角形内角,





















,则





,即



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当且仅当 t= 时取等.

故答案为:



【点睛】

本题考查了等差数列的性质、正弦定理、三角恒等变换、基本不等式等知识,多次使用

换元思想,难度较大,属于难题.

三、解答题

14.已知正项数列 的前 n 项和为



(1)求证:数列 为等差数列;

(2)记

,求数列 的前 n 项和 Rn;

(3)记

,求数列 的前 2n 项和 .

【答案】(1)见解析;(2)

(3)

【解析】(1)正项数列 的前 项和为



,相减可得:

,根据 进而证明结论.(2)由(1)可得:

,可得 .可得

,验证 时是否成立, .利用等比数列的求和

公式即可得出.(3)

.可得

用求和公式即可得出.

【详解】

(1)证明:正项数列{an}的前 n 项和为



,相减可得: = - - ,

化为

,









时,



满足上式.

, ,解得







数列 为等差数列,首项为 1,公差为 1.

(2)解:由(1)可得:



, .

.利 .

数列 的前 项和



(3)解:



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数列 的前 项和



【点睛】 本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和方法, 考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 15.如图,点 C 在以 AB 为直径的上运动,PA⊥*面 ABC,且 PA=AC,点 D、E 分 别是 PC、PB 的中点. (1)求证:PC⊥AE; (2)若 AB=2BC=2,求点 D 到*面 PAB 的距离.

【答案】(1)见解析;(2)

【解析】(1)证明 *面 可得

,再结合

即可得出

故而

;(2)取 中点 ,过 作

于 ,则可证

*面

即为所求.

【详解】

(1)证明:∵PA⊥*面 ABC,BC?*面 ABC,

∴PA⊥BC,

∵AB 是圆的直径,∴BC⊥AC,

又 AC∩PA=A,

∴BC⊥*面 PAC,

又 PC?*面 PAC.

∴BC⊥PC,

∵DE 是△ PBC 的中位线,∴DE∥BC,

∴PC⊥DE,

∵PA=AC,D 是 PC 的中点,

∴AD⊥PC,

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*面 , ,从而

又 AD∩DE=D, ∴PC⊥*面 ADE,又 AE?*面 ADE, ∴PC⊥AE.
(2)解:取 AC 中点 F,过 F 作 FM⊥AB 于 M, ∵D,F 分别是 PC,AC 的中点, ∴DF∥PA,又 DF?*面 PAB,PA?*面 PAB, ∴DF∥*面 PAB, ∴D 到*面 PAB 的距离等于 F 到*面 PAB 的距离. ∵PA⊥*面 ABC,FM?*面 ABC, ∴FM⊥PA,又 FM⊥AB,PA∩AB=A, ∴FM⊥*面 PAB, ∴F 到*面 PAB 的距离为线段 FM 的长. 在 Rt△ ABC 中,∵AB=2AC=2,∴AC= , ∴C 到 AB 的距离为 = , 又 F 为 AC 的中点,∴FM= . ∴点 D 到*面 PAB 的距离为 . 【点睛】 本题考查了线面垂直的判定与性质,点到*面的距离计算,属于中档题. 16.某大学就业部从该大学 2018 年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了 100 人进行 了问卷调查,其中有一项是他们的月薪情况,经调查统计发现,他们的月薪收入在 3000 元到 10000 元之间,根据统计数据得到如下的频率分布直方图:
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若月薪落在区间

的左侧,则认为该大学本科生属“就业不理想”的学生,

学校将联系本人,咨询月薪过低的原因,从而为本科毕业生就业提供更好的指导意见.其 中 分别为样本*均数和样本标准差,计算可得 s≈1500 元(同一组中的数据用该组 区间的中点值作代表). (1)现该校 2018 届大学本科毕业生张茗的月薪为 3600 元,试判断张茗是否属于“就业 不理想”的学生? (2)为感谢同学们对这项调查工作的支持,该校利用分层抽样的方法从样本的前 3 组 中抽出 6 人,各赠送一份礼品,并从这 6 人中再抽取 2 人,各赠送某款智能手机 1 部, 求获赠智能手机的 2 人中恰有 1 人月薪不超过 5000 元的概率; (3)位于某省的一高校 2018 届某专业本科毕业生共 200 人,现他们决定于 2019 年元 旦期间举办一次同学联谊会,并收取一定的活动费用.假定这 200 人与所抽取样本中的 100 人月薪分布情况相同,并用样本频率进行估计,现有两种收费方案: 方案一:按每人一个月薪水的 10%收取; 方案二:月薪高于样本*均数的毎人收取 800 元,月薪不低于 4000 元但低于样本*均 数的每人收取 400 元,月薪低于 4000 元的不收取任何用. 问:哪一种收费方案最终总费用更少?

【答案】(1)见解析;(2) ;(3)见解析

【解析】(1)



,经比较可知张茗属于就业不理想的学生;(2)月

薪不超过 5000 的有 3 人,超过 5000 的有 3 人,从 6 人中抽 2 人共有 15 种,其中符合

恰有 1 人月薪不超过 5000 的有 9 种,由古典概型概率公式可得;(3)方案一收取 132000

元,方案二收取 108000 元,经比较可知方案二符合题意.

【详解】

(1)

=3500×1000×0.00005+4500×1000×0.00010+5500×1000×0.00015+6500×1000×0.00030

+7500×1000×0.00020+8500×1000×0.00015+9500×1000×0.00005=6650,

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-2s=6650-3000=3650>3600,所以张茗属于“就业不理想“的学生.

(2)第一组有 1000×0.00005×100=5 人,第二组有 1000×0.00010×100=10 人,第三组有 1000×0.00015×100=15 人,所以按照分层抽样抽 6 人时,第一组抽 1 人,记为 A,第二 组抽 2 人,记为 B,C,第三组抽 3 人,记为 D,E,F, 从这 6 人中抽 2 人共有 15 种:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C), (B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F).其 中恰有一人月薪不超过 5000 元的有 9 种:(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B, E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F).

根据古典概型概率公式可得 P= = .

(3)方案一:月薪在 3000-4000 之间的收取 1000×0.00005×200×3500×0.1=3500;

月薪在 4000-5000 之间的收取 1000×0.00010×200×4500×0.1=9000;

月薪在 5000-6000 之间的收取 1000×0.00015×200×5500×0.1=16500;

月薪在 6000-7000 之间的收取 1000×0.00030×200×6500×0.1=39000;

月薪在 7000-8000 之间的收取 1000×0.00020×200×7500×0.1=30000;

月薪在 8000-9000 之间的收取 1000×0.00015×200×8500×0.1=24500;

月薪在 9000-10000 之间的收取 1000×0.00005×200×9500×0.1=9500;

共收取 132000 元.

方案二:月薪高于 6650 的收取 800×200×1000×(0.00020+0.00015+0.00005)=64000;

月薪不低于 4000 但低于 6650 的收取 400×200×1000×(0.00010+0.00015+0.00030)

=44000;

共收取 108000.

故方案二最终总费用更少.

【点睛】

本题考查了频率分布直方图中*均数的计算,考查古典概型的概率的计算,意在考查学

生对这些知识的理解掌握水*和分析推理能力. 17.在*面直角坐标系 xOy 中,不过原点的动直线 l:y=x+m 交抛物线 C:x2=2py(p

>0)于 A、B 两点,且



(1)求抛物线 C 的方程;

(2)设直线 y=x 与 C 的异于原点的交点为 P,直线 l 与 C 在点 P 处的切线的交点为 D,



,问:t 是否为定值?若为定值,求出该定值;若不为定值,试说明理由.

【答案】(1)

;(2)见解析

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【解析】(1)联立

消去 并整理得:

,然后根据韦达定理以及

向量数量积列式可得;(2)先求出 在点 处的切线为

,联立





,然后联立直线 的标准参数方程与 ,利用参数的几何意义可得

,最后可得比值为定值.

【详解】

(1)联立

消去 并整理得:



设 , , , ,则









,又因为 ,



抛物线 的方程为:



(2)由

可得 ,

由 求导得 ,所以 在点 处的切线为:

,即



联立

可得





又直线 的参数方程为:

为参数),

将直线 的参数方程代入到





设 , 对应的参数为 , ,





为定值.

【点睛】

本题主要考查抛物线的标准方程的求法,考查直线和抛物线的位置关系和定值问题,考

查数量积的计算,考查直线参数方程 t 的几何意义,意在考查学生对这些知识的理解掌

握水*和分析推理能力.

18.已知函数



(1)讨论函数 在

上的单调性与最值;

(2)证明:当 时,



【答案】(1)见解析;(2)见解析

【解析】(1)

,由此利用导数性质能讨论函数 在

上的单调性

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与最值.(2)推导出

,从而



,由此能证明当 时,

【详解】

(1)

,,





,只要证 .

,即证

当 时,

,函数 在

上的单调递增,无最值;

当 时,令

,得



在 上单调递增;



,得 , 在 , 上单调递减.

最大值为

,无最小值.

当 时, 的单调增区间是

,无单调减区间,无最值;

当 时, 的单调增区间是 ,单调减区间是 , .最大值为



无最小值.

证明:(2)









只要证



即证







相乘,得



当 时,



【点睛】

本题考查不等式的证明,考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识,考查运算求

解能力,考查化归与转化思想,是中档题.

19.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为

,在以 O 为极点,

x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为



(1)设曲线 C 与直线 l 的交点为 A、B,求弦 AB 的中点 P 的直角坐标; (2)动点 Q 在曲线 C 上,在(1)的条件下,试求△ OPQ 面积的最大值.

【答案】(1)

;(2)

【解析】(1)先把曲线 和直线 化成普通方程,再联立根据韦达定理和中点公式可得 的

坐标;

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(2)先求出 OP 的长度和直线 OP 的方程,根据曲线 的参数方程设出 的坐标,求出 到直线 OP 的距离得最大值,再求出面积. 【详解】



消去参数 ,得







,得



联立

消去 并整理得



设 ,, ,,







,.

(2)|OP|=

=,

所以直线 OP 的方程为 x+4y=0,

设 Q(2cosα,sinα),

则点 Q 到直线 x+4y=0 的距离 d=

≤ =,

= |OP|d≤ × × = .

【点睛】

本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化,考查直线和椭圆的位置关

系,考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质,意在考查学生对这些知识的理解掌握

水*和分析推理能力.

20.已知函数



(1)解不等式



(2)记函数

的值域为 ,若 ,

,试求实数 的取值范围.

【答案】(1)

;(2)

【解析】(1)利用分段函数表示 ,利用分类讨论法求不等式

(2)由(1)知函数 的值域,写出

的值域 ,根据 ,

组求得实数 的取值范围.

【详解】

的解集; 列不等式

(1)函数



第 18 页 共 19 页

时,不等式

化为

,解得 或 ,取 ;

时,不等式

化为

,解得 或 ,取 ;

时,不等式

化为

,解得 或 ,取 ;

综上所述,不等式

的解集为

或;

(2)由(1)知,函数 的值域为 , ,

则函数

的值域为

,,

由,

,得

,解得



所以实数 的取值范围是



【点睛】 本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题,也考查了集合的定义与应用问题, 是中档题.

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