配套K12高考数学一轮复* 名校尖子生培优大专题 三角函数之三角函数的综合问题1 新人教A版

发布于:2021-06-19 03:47:47

小学+初中+高中+努力=大学

四、三角函数的综合问题:

典型例题:

例 1.若函数 f (x) ? sin x ?? (? ?[0, 2? ]) 是偶函数,则? =【 】 3

A. ?

B. 2?

C. 3? D. 5?

2

3

2

3

【答案】C。

【考点】偶函数的性质,和的三角函数公式。

【解析】∵函数 f (x) ? sin x ?? (? ?[0, 2? ]) 是偶函数,∴ f (?x) ? f (x) ,即 sin ?x ?? = sin x ?? 。

3

3

3

展开,得

sin

? ??

?

x 3

? ??

cos

? 3

?

cos

? ??

?

x 3

? ??

sin

? 3

= sin

x 3

cos ? 3

?

cos

x 3

sin

? 3



即 ?sin x cos ? ? cos x sin ? = sin x cos ? ? cos x sin ? ,即 2sin x cos ? =0 。

3 3 33 3 3 33

33

∴ cos ? =0 ,解得 ? =2k? ? ? ? ?=6k? ? 3? 。

3

3

2

2

又∵? ?[0, 2? ],∴?= 3? 。故选 C。 2

例 2.如图,正方形 ABCD的边长为1,延长 BA 至 E ,使 AE ?1,连接 EC 、 ED 则 sin ?CED ?【 】

D

C

E

A

B

A、 3 10 10

B、 10 10

C、 5 10

【答案】B。

【考点】余弦定理,同角函数关系式。

【解析】∵ AE ?1,正方形 ABCD 的边长为1,

D、 5 15

∴ ED ? AE2 +AD2 ? 2, EC ? AE2 +AB2 ? 5,CD ?1 。

∴ cos ?CED ? ED2 +EC2 ? CD2 ? 3 10 。

2ED ? EC

10

∵ ?CDE 为钝角,∴ ?CED 为锐角。

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∴ sin ?CED ? 1? cos2 ?CED ? 10 。故选 B。 10
例 3.在 ?ABC 中,内角 A , B , C 所对的边分别是 a, b, c ,已知8b=5c , C=2B ,则 cos C =【 】

(A) 7 25

(B) ? 7 25

【答案】A 。

(C) ? 7 25

(D) 24 25

【考点】正弦定理,二倍角的三角函数公式。

【分析】∵8b=5c ,由正弦定理得 8sin B=5sin C 。

又∵ C=2B ,∴8sin B=5sin 2B 。∴8sin B=10sin Bcos B ,

∵ sin B ? 0 ,∴ cos B= 4 , cosC= cos 2B=2cos2 B ?1= 7 。故选 A 。

5

25

例 4.函数 f ? x? ? sinx ? cos(x ? ? ) 的值域为【 】
6

A. ??2, 2? B. ??? 3, 3??

C. ??1, 1?

D.

? ?? ?

3, 2

3?

2

? ?

【答案】B。

【考点】三角恒等变换。

【解析】利用三角恒等变换把 f (x) 化成 Asin(?x ??) 的形式,利用 sin(?x ??)???1,1? ,求得 f (x) 的值

域:

f ? x? ? sinx ? cos(x ? ? ) ? sinx ? 3 cosx ? 1 sinx ? 3 sinx ? 3 cosx ?

6

2

2

2

2

? 3 ???

3 2

sinx

?

1 2

cosx

? ???

?

3

? ??

cos

? 6

sinx

?

sin

? 6

cosx

? ??

?

3sin

? ??

x

?

? 6

? ??

∵ sin(x ? ? ) ???1,1? ,∴
6

3sin

? ??

x

?

? 6

? ??

?

?? ?

3,

3?? 。

∴函数

f

?x?

?

sinx

?

cos(x

?

? 6

)

的值域为

???

3,

3?? 。故选 B。

例 5.当函数 y= sin x ? 3 cos x ?0 ? x < 2? ? 取得最大值时, x= ▲ 。

【答案】 5 ? 。 6
【考点】三角函数性质的运用。

【解析】求解值 域的问题,首先化为单一三角函数,然后利用定义域求解角的范围,从而结合三角函数图

像得到最值点。

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y=sin x ?

3

cos

? x=2???

1 2

sin

x

?

3 2

cos

x

? ???

=2???

cos

? 3

sin

x

?

? 3

sin

cos

x

? ??

=2sin

? ??

x

?

? 3

? ??

∵ 0 ? x < 2? ,∴ ? ? ? x ? ? < 5? 。

3

33



?2

?

2

sin

? ??

x

?

? 3

? ??

?

2



∴当且仅当 x ? ? = ? 即 x= 5? 时,函数取得最大值。

32

6

例 6.设 ?ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ,且 cos A ? 3 ,cos B ? 5 ,b ? 3, 则 c ? ▲

5

13

【答案】 14 。 5

【考点】同角三角函数的基本关系式,两角和的三角公式,正弦定理的应用。

【分析】∵ cos A ? 3 ,∴ sin A ? 1? cos2 A= 4 。∵ cos B ? 5 ,∴ sin B ? 1? cos2 B =12 。

5

5

13

13

∴ sin C ? sin(A ? B) ? sin Acos B ? cos Asin B ? 56 。 65

由正弦定理得, c ? bsin C ? 14 。 sin B 5
例 7.设△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 a=1,b=2,cosC ? 1 ,则 sin B ? ▲ 4

【答案】 15 。 4

【考点】同角三角函数间的基本关系,余弦定理应用,等腰三角形的性质。

【分析】由 C 为三角形的内角,及 cos C 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 sin C 的值,再由 a 与 b 的值,利用余弦定理列出关于 c 的方程,求出方程的解得到 c 的值,再由 sin C , c 及 b 的值,利用正弦 定理即可求出 sin B 的值:

∵ C 为三角形的内角, cos C ? 1 4

,∴ sinC ?

1

?

? ??

1 4

?2 ??

?

15 。 4

又∵ a=1,b=2,cos C ? 1 ,∴由余弦定理 c2 ? a2 ? b2 ? 2abcosC 得:c2 ?1? 4 ?1 ,解得:c ? 2 。 4

又∵ b=2, c ? 2 , sinC ? 15 ,∴由等腰三角形等边对等角的性质得: sin B ? sinC ? 15 。

4

4

(或用正弦定理求解)

例 8. ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 cos ? A ? C ? ? cos B ?1, a ? 2c ,求 C 。

【答案】解:∵ A+ B + C ?? ,∴ B ? ? ? ? A + C ? 。

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由正弦定理及 a ? 2c 可得 sin A ? 2sinC ①,

∴ cos? A ? C? ? cos B=cos? A ? C? ? cos ??? ? ? A? C???=cos? A? C? ? cos? A? C?
? cos AcosC ? sin AsinC ? cos AcosC ? sin AsinC ? 2sin AsinC 。

由 cos? A ? C ? ? cos B ? 1 得 2sin AsinC=1 ②。

将①代入②,得 4sin2 C=1,∴ sin2 C= 1 。 4

∵ C 为三角形的内角且 a ? 2c >c ,∴ 0 < C < ? 。 2

∴ sin C= 1 。∴ C= ? 。

2

6

【考点】解三角形的运用,三角形的内角和定理,正弦定理,和与差的三角函数。

【解析】给出两个公式,一个是边的关系,一个角的关系,而求解的为角,因此要找到角的关系式为好。 先将三角函数关系式化简后,得到 A, C 角关系,然后结合 a ? 2c ,得到两角的二元一次方程组,自然很容 易得到角 C 的值。

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