配套K12九年级数学上学期10月联考试题(含解析) 新人教版

发布于:2021-09-29 10:27:11

小学+初中+高中+努力=大学

重庆市九龙坡区六校 2016 届九年级数学上学期 10 月联考试题
一、选择题:(本大题共 12 个小题,每小题 4 分,共 48 分)每小题只有一个答案是正确的, 请将正确答案的代号填入下列对应题号内. 1.下列方程一定是一元二次方程的是( )

A.2x2﹣1=3x B.2x2﹣y=1 C.ax2+bx+c=0 D.2x2+ =1

2.抛物线 y=﹣x2+x+2 与 y 轴的交点坐标是(

)

A.(1,2) B.(0,﹣1) C.(0,1) D.(0,2)

3.今年来某县加大了对教育经费的投入,2013 年投入 2500 万元,2015 年投入 3500 万元.假 设该县投入教育经费的年*均增长率为 x,根据题意列方程,则下列方程正确的是( ) A.2500x2=3500 B.2500(1+x)2=3500 C.2500(1+x%)2=3500 D.2500(1+x)+2500(1+x)2=3500

4.把抛物线 y=x2+4 先向左*移 1 个单位,再向下*移 3 个单位,得到的抛物线的解析式为 () A.y=(x+1)2+1 B.y=(x﹣1)2+1 C.y=(x﹣1)2+7 D.y=(x+1)2+7

5.若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+5=0(a≠0)的解是 x=1,则 2015﹣a﹣b 的值是(

)

A.2017 B.2018 C.2019 D.2020

6.已知﹣1 是关于 x 的方程 x2+4x﹣m=0 的一个根,则这个方程的另一个根是(

)

A.﹣3 B.﹣2 C.﹣1 D.3

7.已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交点为 A(﹣2,0),B(6,0),则该二次函数的对称轴为 () A.x=﹣1 B.x=1 C.x=2 D.y 轴

8.已知某种礼炮的升空高度 h(m)与飞行时间 t(s)的关系式是 h=﹣ t2+20t+1.若此礼 炮在升空到最高处时引爆,则引爆需要的时间为( ) A.3s B.4s C.5s D.6s

9.已知二次函数 y=3(x﹣1)2+k 的图象上有三点 A(0.5,y1),B(2,y2),C(﹣2,y3),

则 y1、y2、y3 的大小关系为(

)

A.y1>y2>y3 B.y3>y2>y1 C.y3>y1>y2 D.y2>y3>y1

10.关于 x 的一元二次方程(m﹣2)x2+2x+1=0 有实数根,则 m 的取值范围是(

)

A.m≤3 B.m<3 C.m<3 且 m≠2 D.m≤3 且 m≠2

11.如图为二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,对称轴是 x=1,则下列说法:①b>0;② 2a+b=0;③4a﹣2b+c>0;④3a+c>0;⑤m(ma+b)<a+b(常数 m≠1).其中正确的个数为

小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学 ()

A.2 B.3 C.4 D.5

12.对于每个非零自然数 n,抛物线 y=x2﹣

x+

以 AnBn 表示这两点间的距离,则 A1B1+A2B2+…+A2015B2015 的值是(

A.1 B. C. D.

与 x 轴交于 An、Bn 两点, )

二、填空题:(本大题共 6 个小题,每题 4 分,共 24 分)将正确答案填写在前面对应题号 的横线上. 13.方程(x+2)(x﹣3)=x+2 的解是__________.
14.某校九年级学生毕业时,每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念, 全班共送了 1640 张相片.如果全班有 x 名学生,根据题意,列出方程为__________.
15.波音公司生产某种型号飞机,7 月份的月产量为 50 台,由于改进了生产技术,计划 9 月份生产飞机 98 台,那么 8、9 月飞机生产量*均每月的增长率是__________.
16.已知抛物线 y=ax2+bx+c 的部分图象如图所示,则不等式 ax2+bx+c>0 的解集为 __________.

17.如图,坐标系中正方形网格的单位长度为 1,抛物线 y1=﹣ 得抛物线 y2,则阴影部分的面积 S=__________.

+3 向下*移 2 个单位后

小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学
18.如图,抛物线 y=﹣x2+2x+m+1 交 x 轴于点 A(a,0)和 B(b,0),交 y 轴于点 C,抛物 线的顶点为 D,下列四个命题: ①当 x>0 时,y>0; ②若 a=﹣1,则 b=3; ③抛物线上有两点 P(x1,y1)和 Q(x2,y2),若 x1<1<x2,且 x1+x2>2,则 y1>y2; ④点 C 关于抛物线对称轴的对称点为 E,点 G,F 分别在 x 轴和 y 轴上,当 m=2 时,四边形 EDFG 周长的最小值为 6 . 其中真命题的序号是__________.
三、解答下列各题:(第 19 题 8 分,20 题 6 分,共 14 分) 19.解方程 ①x2﹣3x+2=0 ②4x2﹣12x+7=0. 20.已知抛物线的对称轴是 x=﹣1,且经过点 A(0,3)和 B(﹣3,6),求抛物线的解析式. 四、解答下列各题:(每小题 10 分,共 40 分) 21 .无 锡春秋 旅行 社为吸 引市 民组团 去天水 湾风 景区 旅游, 推出了 如下 收 费 标准:
小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学
某单位组织员工去天水湾风景区旅游,共支付给春秋旅行社旅游费用 28000 元,请问该单位 这次共有多少员工去天水湾风景区旅游?
22.李明准备进行如下操作实验,把一根长 40cm 的铁丝剪成两段,并把每段首尾相连各围 成一个正方形. (1)要使这两个正方形的面积之和等于 58cm2,李明应该怎么剪这根铁丝? (2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于 48cm2,你认为他的说法正确吗?请说明 理由.
23.如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是 12m,宽是 4m.按照图中所示 的直角坐标系,抛物线可以用 y=﹣ x2+bx+c 表示,且抛物线的点 C 到墙面 OB 的水*距离为
3m 时,到地面 OA 的距离为 m. (1)求该抛物线的函数关系式,并计算出拱顶 D 到地面 OA 的距离; (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为 6m,宽为 4m,如果隧道内设双向行车道,那么 这辆货车能否安全通过? (3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等,如果灯离地面的高度 不超过 8m,那么两排灯的水*距离最小是多少米?

24.对 x,y 定义一种新运算 T,规定:

(其中 a、b 均为非零常数),

这里等式右边是通常的四则运算,例如:



(1)已知 T(1,﹣1)=﹣2,T(4,2)=1.

①求 a、b 的值;

②若关于 m 的方程 T(1﹣m,﹣m2)=﹣2 有实数解,求实数 m 的值;

(2)若 T(x,y)=T(y,x)对任意实数 x,y 都成立(这里 T(x,y)和 T(y,x)均有

意义),则 a、b 应满足怎样的关系式?

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五、解答下列各题:(每小题 12 分,共 24 分) 25.为满足市场需求,某超市在五月初五“端午节”来临前夕,购进一种品牌粽子,每盒进 价是 40 元.超市规定每盒售价不得少于 45 元.根据以往销售经验发现;当售价定为每盒 45 元时,每天可以卖出 700 盒,每盒售价每提高 1 元,每天要少卖出 20 盒. (1)试求出每天的销售量 y(盒)与每盒售价 x(元)之间的函数关系式; (2)当每盒售价定为多少元时,每天销售的利润 P(元)最大?最大利润是多少? (3)为稳定物价,有关管理部门限定:这种粽子的每盒售价不得高于 58 元.如果超市想要 每天获得不低于 6000 元的利润,那么超市每天至少销售粽子多少盒? 26.如图 1,抛物线 y=ax2+bx﹣4a 经过 A(﹣1,0)、C(0,4)两点,与 x 轴交于另一点 B. (1)求抛物线的解析式; (2)已知点 D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标; (3)如图 2,点 P 为第一象限抛物线上一点,是否存在使△PBC 面积最大的点 P?若存在, 求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由; (4)如图 3,若抛物线的对称轴 EF(E 为抛物线顶点)与直线 BC 相交于点 F,M 为直线 BC 上的任意一点,过点 M 作 MN∥EF 交抛物线于点 N,以 E,F,M,N 为顶点的四边形能否为* 行四边形?若能,求点 N 的坐标;若不能,请说明理由.
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2015-2016 学年重庆市九龙坡区六校九年级(上)联考数学试卷(10 月份)

一、选择题:(本大题共 12 个小题,每小题 4 分,共 48 分)每小题只有一个答案是正确的, 请将正确答案的代号填入下列对应题号内. 1.下列方程一定是一元二次方程的是( )

A.2x2﹣1=3x B.2x2﹣y=1 C.ax2+bx+c=0 D.2x2+ =1 【考点】一元二次方程的定义. 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答.一元二次方程必须满足四个条件:(1)未知数 的最高次数是 2;(2)二次项系数不为 0;(3)是整式方程;(4)含有一个未知数.由这四 个条件对四个选项进行验证,满足这四个条件者为正确答案. 【解答】解:A、符合一元二次方程的定义,正确; B、方程含有两个未知数,故错误; C、方程二次项系数可能为 0,故错误; D、不是整式方程,故错误. 故选 A. 【点评】本题考查了一元二次方程的概念,判断一个方程是否是一元二次方程,首先要看是 否是整式方程,然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是 2.

2.抛物线 y=﹣x2+x+2 与 y 轴的交点坐标是(

)

A.(1,2) B.(0,﹣1) C.(0,1) D.(0,2)

【考点】二次函数图象上点的坐标特征.

【分析】把 x=0 代入解析式求出 y 的值,根据 y 轴上点的特征和二次函数图象上点的坐标特

征解答即可.

【解答】解:当 x=0 时,y=2,

故抛物线 y=﹣x2+x+2 与 y 轴的交点坐标是(0,2).

故选:D.

【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征,掌握抛物线与 y 轴交点的纵坐标是函

数解析中的 c 值是解题的关键.

3.今年来某县加大了对教育经费的投入,2013 年投入 2500 万元,2015 年投入 3500 万元.假 设该县投入教育经费的年*均增长率为 x,根据题意列方程,则下列方程正确的是( ) A.2500x2=3500 B.2500(1+x)2=3500 C.2500(1+x%)2=3500 D.2500(1+x)+2500(1+x)2=3500 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程. 【专题】增长率问题. 【分析】根据 2013 年教育经费额×(1+*均年增长率)2=2015 年教育经费支出额,列出方 程即可. 【解答】解:设增长率为 x,根据题意得 2500×(1+x)2=3500, 故选 B. 【点评】本题考查一元二次方程的应用﹣﹣求*均变化率的方法.若设变化前的量为 a,变 化后的量为 b,*均变化率为 x,则经过两次变化后的数量关系为 a(1±x)2=b.(当增长时

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中间的“±”号选“+”,当下降时中间的“±”号选“﹣”).

4.把抛物线 y=x2+4 先向左*移 1 个单位,再向下*移 3 个单位,得到的抛物线的解析式为 () A.y=(x+1)2+1 B.y=(x﹣1)2+1 C.y=(x﹣1)2+7 D.y=(x+1)2+7 【考点】二次函数图象与几何变换. 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可. 【解答】解:将抛物线 y=x2+4 向左*移 1 个单位所得直线解析式为:y=(x+1)2+4; 再向下*移 3 个单位为:y=(x+1)2+4﹣3,即 y=(x+1)2+1. 故选:A. 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知函数图象*移的法则是解答此题的 关键.

5.若关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+5=0(a≠0)的解是 x=1,则 2015﹣a﹣b 的值是(

)

A.2017 B.2018 C.2019 D.2020

【考点】一元二次方程的解.

【分析】把 x=1 代入已知方程求得(a+b)的值,然后将其整体代入所求的代数式并求值即

可.

【解答】解:∵关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+5=0(a≠0)的解是 x=1,

∴a+b+5=0,

∴a+b=﹣5,

∴2015﹣a﹣b=2015﹣(a+b)=2015﹣(﹣5)=2020;

故选 D.

【点评】本题考查了一元二次方程的解定义.解题时,利用了“整体代入”的数学思想.

6.已知﹣1 是关于 x 的方程 x2+4x﹣m=0 的一个根,则这个方程的另一个根是(

)

A.﹣3 B.﹣2 C.﹣1 D.3

【考点】根与系数的关系.

【分析】设 x2+4x﹣m=0 的另一个根为 x1,根据根与系数的关系得出﹣1+x1=﹣4,求出 x1 的

值即可.

【解答】解:设方程 x2+4x﹣m=0 的另一个根为:x1,

由根与系数的关系得:﹣1+x1=﹣4,

解得:x1=﹣3,

故选:A.

【点评】此题是一元二次方程根与系数之间关系的综合应用,关键是能关键根与系数的关系

得出﹣1+x1=﹣4.

7.已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交点为 A(﹣2,0),B(6,0),则该二次函数的对称轴为 () A.x=﹣1 B.x=1 C.x=2 D.y 轴 【考点】抛物线与 x 轴的交点. 【专题】数形结合. 【分析】根据抛物线的对称性得到点 A 和点 B 是抛物线上的对称点,所以点 A 和点 B 的对称 轴即为抛物线的对称轴.

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小学+初中+高中+努力=大学
【解答】解:∵抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交点为 A(﹣2,0),B(6,0), ∴该二次函数的对称轴为直线 x=2. 故选 C. 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点:从二次函数的交点式 y=a(x﹣x1)(x﹣x2)(a, b,c 是常数,a≠0)中可直接得到抛物线与 x 轴的交点坐标(x1,0),(x2,0).解决本题 的关键是掌握抛物线的对称性.

8.已知某种礼炮的升空高度 h(m)与飞行时间 t(s)的关系式是 h=﹣ t2+20t+1.若此礼 炮在升空到最高处时引爆,则引爆需要的时间为( ) A.3s B.4s C.5s D.6s 【考点】二次函数的应用.

【分析】将关系式是 h=﹣ t2+20t+1 转化为顶点式就可以直接求出结论.

【解答】解:∵h=﹣ t2+20t+1,

∴h=﹣ (t﹣4)2+41, ∴顶点坐标为(﹣4,41), ∴到达最高处的时间为 4s. 故选 B. 【点评】本题考查了二次函数的性质顶点式的运用,解答时将一般式化为顶点式是关键.

9.已知二次函数 y=3(x﹣1)2+k 的图象上有三点 A(0.5,y1),B(2,y2),C(﹣2,y3),

则 y1、y2、y3 的大小关系为(

)

A.y1>y2>y3 B.y3>y2>y1 C.y3>y1>y2 D.y2>y3>y1

【考点】二次函数图象上点的坐标特征.

【分析】根据函数解析式的特点为顶点式,其对称轴为 x=1,图象开口向上;利用 y 随 x 的

增大而增大,可判断 y1<y3,根据二次函数图象的对称性可判断 y3>y2>y1.

【解答】解:A(0.5,y1),C(﹣2,y3),在对称轴的左侧,y 随 x 的增大而减小,

∵0.5>﹣2,

∴y1<y3,

根据二次函数图象的对称性可知,B 的对称点为(0,0),故有 y3>y2>y1;

故选 B.

【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系,同时考查了函数的对称性

及增减性.

10.关于 x 的一元二次方程(m﹣2)x2+2x+1=0 有实数根,则 m 的取值范围是(

)

A.m≤3 B.m<3 C.m<3 且 m≠2 D.m≤3 且 m≠2

【考点】根的判别式;一元二次方程的定义.

【分析】根据一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac 的意义得到 m﹣2≠0

且△≥0,即 22﹣4×(m﹣2)×1≥0,然后解不等式组即可得到 m 的取值范围.

【解答】解:∵关于 x 的一元二次方程(m﹣2)x2+2x+1=0 有实数根,

∴m﹣2≠0 且△≥0,即 22﹣4×(m﹣2)×1≥0,解得 m≤3,

小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学
∴m 的取值范围是 m≤3 且 m≠2. 故选:D. 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2﹣4ac:当△>0, 方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△<0,方程没有实数 根.
11.如图为二次函数 y=ax2+bx+(c a≠0)的图象,对称轴是 x=1,则下列说法:①b>0;②2a+b=0; ③4a﹣2b+c>0;④3a+c>0;⑤m(ma+b)<a+b(常数 m≠1).其中正确的个数为( )

A.2 B.3 C.4 D.5 【考点】二次函数图象与系数的关系. 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系,由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系, 然后根据对称轴 x=1 计算 2a+b 与偶的关系;再由根的判别式与根的关系,进而对所得结论 进行判断.

【解答】解:①由抛物线的开口向下知 a<0,对称轴为 x=﹣ 确; ②由对称轴为 x=1,

>0,则 b>0,故本选项正

∴﹣ =1,∴b=﹣2a,则 2a+b=0,故本选项正确; ③由图象可知,当 x=﹣2 时,y<0,则 4a﹣2b+c<0,故本选项错误; ④从图象知,当 x=﹣1 时,y=0,则 a﹣b+c=0, ∵b=﹣2a, ∴a+2a+c=0,即 3a+c=0,故本选项错误; ⑤∵对称轴为 x=1, ∴当 x=1 时,抛物线有最大值, ∴a+b+c>m2a+mb+c, ∴m(ma+b)<a+b(常数 m≠1),故本选项正确; 故选 B. 【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求 2a 与 b 的 关系,以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用.

12.对于每个非零自然数 n,抛物线 y=x2﹣

x+

以 AnBn 表示这两点间的距离,则 A1B1+A2B2+…+A2015B2015 的值是(

A.1 B. C. D. 【考点】抛物线与 x 轴的交点.

与 x 轴交于 An、Bn 两点, )

小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学

【分析】首先求出抛物线与 x 轴两个交点坐标,然后由题意得到 AnBn= ﹣ A1B1+A2B2+…+A2015B2015 的值.

,进而求出

【解答】解:令 y=x2﹣

x+

=0,

即 x2﹣

x+

=0,

解得 x= 或 x= ,

故抛物线 y=x2﹣

x+

与 x 轴的交点为( ,0),( ,0),

由题意得 AnBn= ﹣ ,

则 A1B1+A2B2+…+A2015B2015=1﹣ + ﹣ +…+



=1﹣

=



故选 D.

【点评】本题主要考查了抛物线与 x 轴交点的知识,解答本题的关键是用 n 表示出抛物线与

x 轴的两个交点坐标,此题难度不大.

二、填空题:(本大题共 6 个小题,每题 4 分,共 24 分)将正确答案填写在前面对应题号 的横线上. 13.方程(x+2)(x﹣3)=x+2 的解是 x1=﹣2,x2=4. 【考点】解一元二次方程-因式分解法. 【分析】先移项,再提取公因式,求出 x 的值即可. 【解答】解:原式可化为(x+2)(x﹣3)﹣(x+2)=0, 提取公因式得,(x+2)(x﹣4)=0, 故 x+2=0 或 x﹣4=0,解得 x1=﹣2,x2=4. 故答案为:x1=﹣2,x2=4. 【点评】本题考查的是解一元二次方程,熟知因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解答 此题的关键.

14.某校九年级学生毕业时,每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念, 全班共送了 1640 张相片.如果全班有 x 名学生,根据题意,列出方程为 x(x﹣1)=1640. 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程. 【分析】根据题意得:每人要赠送(x﹣1)张相片,有 x 个人,然后根据题意可列出方程. 【解答】解:根据题意得:每人要赠送(x﹣1)张相片,有 x 个人, ∴全班共送:(x﹣1)x=1640, 故答案为:(x﹣1)x=1640. 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用,本题要注意读清题意,弄清楚每人要赠送 x ﹣1 张相片,有 x 个人是解决问题的关键.

小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学
15.波音公司生产某种型号飞机,7 月份的月产量为 50 台,由于改进了生产技术,计划 9 月份生产飞机 98 台,那么 8、9 月飞机生产量*均每月的增长率是 40%. 【考点】一元二次方程的应用. 【专题】增长率问题. 【分析】设 8、9 月飞机生产量*均每月的增长率是 x,根据 7 月份的月产量为 50 台,计划 9 月份生产飞机 98 台,列方程求解. 【解答】解:设 8、9 月飞机生产量*均每月的增长率是 x, 由题意得,50×(1+x)2=98, 解得:x=0.4 或 x=﹣2.4(不合题意舍去), 即 8、9 月飞机生产量*均每月的增长率是 40%. 故答案为:40%. 【点评】本题考查了一元二次方程的应用,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出 合适的等量关系,列方程求解.
16.已知抛物线 y=ax2+bx+c 的部分图象如图所示,则不等式 ax2+bx+c>0 的解集为﹣1<x <3.

【考点】二次函数与不等式(组). 【分析】由图可知,该函数的对称轴是 x=1,则 x 轴上与﹣1 对应的点是 3.观察图象可知 y >0 时 x 的取值范围 【解答】解:已知抛物线与 x 轴的一个交点是(﹣1,0)对称轴为 x=1, 根据对称性,抛物线与 x 轴的另一交点为(3,0), 观察图象,当 y>0 时,﹣1<x<3, ∴不等式 ax2+bx+c>0 的解集为:﹣1<x<3, 故答案为:﹣1<x<3. 【点评】本题考查了二次函数与不等式,解答此题的关键是根据二次函数的对称轴与对称性, 找出抛物线 y=ax2+bx+c 的完整图象.

17.如图,坐标系中正方形网格的单位长度为 1,抛物线 y1=﹣ 得抛物线 y2,则阴影部分的面积 S=4.

+3 向下*移 2 个单位后

小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学
【考点】二次函数图象与几何变换. 【分析】根据已知得出阴影部分即为*行四边形的面积. 【解答】解:根据题意知,图中阴影部分的面积即为*行四边形的面积:2×2=4. 故答案是:4. 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换.解题关键是把阴影部分的面积整理为规则图 形的面积. 18.如图,抛物线 y=﹣x2+2x+m+1 交 x 轴于点 A(a,0)和 B(b,0),交 y 轴于点 C,抛物 线的顶点为 D,下列四个命题: ①当 x>0 时,y>0; ②若 a=﹣1,则 b=3; ③抛物线上有两点 P(x1,y1)和 Q(x2,y2),若 x1<1<x2,且 x1+x2>2,则 y1>y2; ④点 C 关于抛物线对称轴的对称点为 E,点 G,F 分别在 x 轴和 y 轴上,当 m=2 时,四边形 EDFG 周长的最小值为 6 . 其中真命题的序号是②③.
【考点】抛物线与 x 轴的交点. 【专题】计算题. 【分析】观察函数图象,利用抛物线在 x 轴上所对应的自变量的取值范围可对①进行判断; 抛物线的对称轴为直线 x=1,则利用对称性可对②进行判断;确定点 Q 比点 P 离对称轴的距 离要大,则根据二次函数的性质可对③进行判断;当 m=2 时,先确定 D(1,4),C(0,3), E(2,3),利用勾股计算出 DE= ,作 D 点关于 y 轴的对称点为 D′,E 点关于 y 轴的对称 点为 E′,利用关于坐标轴对称的点的坐标特征得到 D′(﹣1,4),E′(2,﹣3),根据对 称的性质得 FD=FD′,GE=GE′,于是 FD+FG+GE=D′E′,根据两点之间线段最短可判断此时 四边形 EDFG 周长的最小,然后利用勾股定理计算出 D′E′= ,于是可对④进行判断.
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小学+初中+高中+努力=大学 【解答】解:当 a<x<b 时,y>0,所以①错误;

抛物线的对称轴为直线 x=﹣

=1,当 a=﹣1,即 A(﹣1,0),而点 A 与点 B 为

对称点,则 B(3,0),所以②正确; 因为 x1<1<x2,所以点 P 和 Q 在对称轴两侧,而 x1+x2>2,则点 Q 比点 P 离对称轴的距离要 大,所以 y1>y2,所以③正确; 当 m=2 时,y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,则 D(1,4),C(0,3), ∵点 C 关于抛物线对称轴的对称点为 E, ∴E(2,3),

∴DE=

=,

作 D 点关于 y 轴的对称点为 D′,E 点关于 y 轴的对称点为 E′,则 D′(﹣1,4),E′(2, ﹣3), ∴FD=FD′,GE=GE′, ∴FD+FG+GE=FD′+FG+GE′=D′E′, ∴此时四边形 EDFG 周长的最小,

而 D′E′=

=,

∴四边形 EDFG 周长的最小值为 + 故答案为②③.

,所以④错误.

【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点:把求二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0) 与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x 的一元二次方程.也考查了二次函数的性质和求最短 路径的解决方法.
三、解答下列各题:(第 19 题 8 分,20 题 6 分,共 14 分) 19.解方程 ①x2﹣3x+2=0 ②4x2﹣12x+7=0. 【考点】解一元二次方程-因式分解法;解一元二次方程-公式法. 【分析】①先分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可; ②先求出 b2﹣4ac 的值,再代入公式求出即可. 【解答】解:①x2﹣3x+2=0, (x﹣2)(x﹣1)=0, x﹣2=0,x﹣1=0,
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x1=2,x2=1;
②4x2﹣12x+7=0, b2﹣4ac=(﹣12)2﹣4×4×7=32,

x=



x1=

,x2=



【点评】本题考查了解一元二次方程的应用,能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的 关键.

20.已知抛物线的对称轴是 x=﹣1,且经过点 A(0,3)和 B(﹣3,6),求抛物线的解析式. 【考点】待定系数法求二次函数解析式. 【专题】计算题. 【分析】设一般式 y=ax2+bx+c,把 A 点和 B 点坐标代入得到两个方程,再利用抛物线的对称 轴方程得到关于 a、b 的方程,这样可得到关于 a、b、c 的三元方程组,然后解方程组即可. 【解答】解:设抛物线解析式为 y=ax2+bx+c,

根据题意得



解得 a=1,b=2,c=3. 所以抛物线解析式为 y=x2+2x+3. 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式:在利用待定系数法求二次函数关系式 时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当 已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物 线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与 x 轴有两个交点时, 可选择设其解析式为交点式来求解.

四、解答下列各题:(每小题 10 分,共 40 分) 21 .无 锡春秋 旅行 社为吸 引市 民组团 去天水 湾风 景区 旅游, 推出了 如下 收费 标准:

某单位组织员工去天水湾风景区旅游,共支付给春秋旅行社旅游费用 28000 元,请问该单位 这次共有多少员工去天水湾风景区旅游? 【考点】一元二次方程的应用. 【分析】首先分析得出这次旅游员工大体人数,因为支付给春秋旅行社旅游费用为 28000 元,当旅游人数是 30 时,30×800=24000 元,低于 28000 元,可得出实际人数超过了 30 人,
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再表示出每人应交钱数 800﹣(x﹣30)×10,结合实际问题列出方程求出即可. 【解答】解:∵支付给春秋旅行社旅游费用为 28000 元,当旅游人数是 30 时,30×800=24000 元,低于 28000 元. ∴这次旅游超过了 30 人. ∴假设这次旅游员工人数为 x 人,根据题意列出方程得: ∵[800﹣(x﹣30)×10]x=28000, ∴x2﹣110x+2800=0, 解得:x1=40,x2=70, 当 x1=40 时,800﹣10(x﹣30)=700>700(符合题意) 当 x2=70 时,800﹣10(x﹣30)=400<500(不合题意,舍去) 答:该单位这次共有 40 员工去天水湾风景区旅游. 【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法及应用,关键是表示出参加旅游每人所付费用 是解决问题的关键.
22.李明准备进行如下操作实验,把一根长 40cm 的铁丝剪成两段,并把每段首尾相连各围 成一个正方形. (1)要使这两个正方形的面积之和等于 58cm2,李明应该怎么剪这根铁丝? (2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于 48cm2,你认为他的说法正确吗?请说明 理由. 【考点】一元二次方程的应用. 【专题】几何图形问题. 【分析】(1)设剪成的较短的这段为 xcm,较长的这段就为(40﹣x)cm.就可以表示出这 两个正方形的面积,根据两个正方形的面积之和等于 58cm2 建立方程求出其解即可; (2)设剪成的较短的这段为 mcm,较长的这段就为(40﹣m)cm.就可以表示出这两个正方 形的面积,根据两个正方形的面积之和等于 48cm2 建立方程,如果方程有解就说明李明的说 法错误,否则正确. 【解答】解:(1)设剪成的较短的这段为 xcm,较长的这段就为(40﹣x)cm,由题意,得

( )2+(

)2=58,

解得:x1=12,x2=28, 当 x=12 时,较长的为 40﹣12=28cm, 当 x=28 时,较长的为 40﹣28=12<28(舍去). 答:李明应该把铁丝剪成 12cm 和 28cm 的两段;

(2)李明的说法正确.理由如下: 设剪成的较短的这段为 mcm,较长的这段就为(40﹣m)cm,由题意,得

( )2+(

)2=48,

变形为:m2﹣40m+416=0, ∵△=(﹣40)2﹣4×416=﹣64<0, ∴原方程无实数根, ∴李明的说法正确,这两个正方形的面积之和不可能等于 48cm2.

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【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用,一元二次方程的解法的运用,根的 判别式的运用,解答本题时找到等量关系建立方程和运用根的判别式是关键.
23.如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是 12m,宽是 4m.按照图中所示
的直角坐标系,抛物线可以用 y=﹣ x2+bx+c 表示,且抛物线的点 C 到墙面 OB 的水*距离为
3m 时,到地面 OA 的距离为 m. (1)求该抛物线的函数关系式,并计算出拱顶 D 到地面 OA 的距离; (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为 6m,宽为 4m,如果隧道内设双向行车道,那么 这辆货车能否安全通过? (3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯,使它们离地面的高度相等,如果灯离地面的高度 不超过 8m,那么两排灯的水*距离最小是多少米?

【考点】二次函数的应用. 【专题】压轴题. 【分析】(1)先确定 B 点和 C 点坐标,然后利用待定系数法求出抛物线解析式,再利用配方 法确定顶点 D 的坐标,从而得到点 D 到地面 OA 的距离; (2)由于抛物线的对称轴为直线 x=6,而隧道内设双向行车道,车宽为 4m,则货运汽车最 外侧与地面 OA 的交点为(2,0)或(10,0),然后计算自变量为 2 或 10 的函数值,再把函 数值与 6 进行大小比较即可判断; (3)抛物线开口向下,函数值越大,对称点之间的距离越小,于是计算函数值为 8 所对应 的自变量的值即可得到两排灯的水*距离最小值.
【解答】解:(1)根据题意得 B(0,4),C(3, ),

把 B(0,4),C(3, )代入 y=﹣ x2+bx+c 得



解得



所以抛物线解析式为 y=﹣ x2+2x+4,
则 y=﹣ (x﹣6)2+10, 所以 D(6,10),

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所以拱顶 D 到地面 OA 的距离为 10m; (2)由题意得货运汽车最外侧与地面 OA 的交点为(2,0)或(10,0),
当 x=2 或 x=10 时,y= >6, 所以这辆货车能安全通过;
(3)令 y=8,则﹣ (x﹣6)2+10=8,解得 x1=6+2 ,x2=6﹣2 , 则 x1﹣x2=4 ,
所以两排灯的水*距离最小是 4 m. 【点评】本题考查了二次函数的应用:构建二次函数模型解决实际问题,利用二次函数解决 抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时,要恰当地把这些实际问题中的数据落实到*面 直角坐标系中的抛物线上,从而确定抛物线的解析式,通过解析式可解决一些测量问题或其 他问题.

24.对 x,y 定义一种新运算 T,规定:

(其中 a、b 均为非零常数),

这里等式右边是通常的四则运算,例如:



(1)已知 T(1,﹣1)=﹣2,T(4,2)=1.

①求 a、b 的值;

②若关于 m 的方程 T(1﹣m,﹣m2)=﹣2 有实数解,求实数 m 的值;

(2)若 T(x,y)=T(y,x)对任意实数 x,y 都成立(这里 T(x,y)和 T(y,x)均有

意义),则 a、b 应满足怎样的关系式?

【考点】一元二次方程的应用;分式的混合运算;解二元一次方程组.

【专题】新定义.

【分析】(1)①利用题意得出关于 a,b 的方程组进而求出答案;

②利用已知得出关于 m 的等式求出答案;

(2)根据题意得出:

,进而得出 a,b 的关系.

【解答】解:(1)①由题意得:

解得:



②由题意得: 化简得:m2+m﹣1=0,

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, =﹣2,

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解得:



(2)由题意得:



化简得:(a﹣2b)(x2﹣y2)=0,

∵该式对任意实数 x、y 都成立,

∴a﹣2b=0,

∴a=2b.

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用以及新定义,根据题意得出正确等式是解题关

键.

五、解答下列各题:(每小题 12 分,共 24 分) 25.为满足市场需求,某超市在五月初五“端午节”来临前夕,购进一种品牌粽子,每盒进 价是 40 元.超市规定每盒售价不得少于 45 元.根据以往销售经验发现;当售价定为每盒 45 元时,每天可以卖出 700 盒,每盒售价每提高 1 元,每天要少卖出 20 盒. (1)试求出每天的销售量 y(盒)与每盒售价 x(元)之间的函数关系式; (2)当每盒售价定为多少元时,每天销售的利润 P(元)最大?最大利润是多少? (3)为稳定物价,有关管理部门限定:这种粽子的每盒售价不得高于 58 元.如果超市想要 每天获得不低于 6000 元的利润,那么超市每天至少销售粽子多少盒? 【考点】二次函数的应用. 【分析】(1)根据“当售价定为每盒 45 元时,每天可以卖出 700 盒,每盒售价每提高 1 元, 每天要少卖出 20 盒”即可得出每天的销售量 y(盒)与每盒售价 x(元)之间的函数关系式; (2)根据利润=1 盒粽子所获得的利润×销售量列式整理,再根据二次函数的最值问题解答; (3)先由(2)中所求得的 P 与 x 的函数关系式,根据这种粽子的每盒售价不得高于 58 元, 且每天销售粽子的利润不低于 6000 元,求出 x 的取值范围,再根据(1)中所求得的销售量 y(盒)与每盒售价 x(元)之间的函数关系式即可求解. 【解答】解:(1)由题意得,y=700﹣20(x﹣45)=﹣20x+1600;
(2)P=(x﹣40)(﹣20x+1600)=﹣20x2+2400x﹣64000=﹣20(x﹣60)2+8000, ∵x≥45,a=﹣20<0, ∴当 x=60 时,P 最大值=8000 元, 即当每盒售价定为 60 元时,每天销售的利润 P(元)最大,最大利润是 8000 元;
(3)由题意,得﹣20(x﹣60)2+8000=6000, 解得 x1=50,x2=70. ∵抛物线 P=﹣20(x﹣60)2+8000 的开口向下, ∴当 50≤x≤70 时,每天销售粽子的利润不低于 6000 元的利润. 又∵x≤58, ∴50≤x≤58. ∵在 y=﹣20x+1600 中,k=﹣20<0, ∴y 随 x 的增大而减小, ∴当 x=58 时,y 最小值=﹣20×58+1600=440,

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即超市每天至少销售粽子 440 盒. 【点评】本题考查的是二次函数与一次函数在实际生活中的应用,主要利用了利润=1 盒粽 子所获得的利润×销售量,求函数的最值时,注意自变量的取值范围.
26.如图 1,抛物线 y=ax2+bx﹣4a 经过 A(﹣1,0)、C(0,4)两点,与 x 轴交于另一点 B. (1)求抛物线的解析式; (2)已知点 D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标; (3)如图 2,点 P 为第一象限抛物线上一点,是否存在使△PBC 面积最大的点 P?若存在, 求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由; (4)如图 3,若抛物线的对称轴 EF(E 为抛物线顶点)与直线 BC 相交于点 F,M 为直线 BC 上的任意一点,过点 M 作 MN∥EF 交抛物线于点 N,以 E,F,M,N 为顶点的四边形能否为* 行四边形?若能,求点 N 的坐标;若不能,请说明理由.

【考点】二次函数综合题. 【分析】(1)由于抛物线 y=ax2+bx﹣4a 经过 A(﹣1,0)、C(0,4)两点,根据待定系数法 可求抛物线的解析式; (2)将点 D(m,m+1)代入 y=﹣x2+3x+4 中,得到 D(3,4),得到 CD∥x 轴,由 B(4,0)、 C(0,4)可得:OB=OC=4,根据等腰直角三角形的判定可得△OBC 是等腰直角三角形,得: ∠OCB=∠DCB=45°;再关于直线的对称点的性质即可求解;
(3)根据待定系数法可求直线 BC 的解析式,再根据三角形面积公式和二次函数的最值即 可求解;

(4)根据抛物线 y=﹣x2+3x+4 的顶点坐标得到 E

,直线 BC:y=﹣x+4;当

时,y=﹣ +4= ,可得

,根据两点间的距离公式可得

,如图 3,过点 M

作 MN∥EF,交抛物线于点 N,设 N(x,﹣x2+3x+4),则 M(x,﹣x+4);则 MN=|(﹣x2+3x+4)

﹣(﹣x+4)|=|﹣x2+4x|;当 EF 与 NM *行且相等时,四边形 EFMN 是*行四边形,则|﹣

x2+4x|= ,解方程可求点 N 的坐标.

【解答】解:(1)依题意,有:



解得



故抛物线的解析式:y=﹣x2+3x+4.

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(2)将点 D(m,m+1)代入 y=﹣x2+3x+4 中,得:﹣m2+3m+4=m+1, 化简,得:m2﹣2m﹣3=0, 解得:m1=﹣1(舍),m2=3; ∴D(3,4), ∴CD∥x 轴; 由 B(4,0)、C(0,4)可得:OB=OC=4,即△OBC 是等腰直角三角形,得:∠OCB=∠DCB=45°; 设点 D 关于直线 BC 的对称点为点 E,则点 E 在 y 轴上,且 CD=CE=3,OE=OC﹣CE=1,则: 点 D 关于直线 BC 的对称点的坐标为(0,1). (3)由 B(4,0)、C(0,4)可知,直线 BC:y=﹣x+4; 如图 2,过点 P 作 PQ∥y 轴,交直线 BC 于 Q,设 P(x,﹣x2+3x+4),则 Q(x,﹣x+4); 则 PQ=(﹣x2+3x+4)﹣(﹣x+4)=﹣x2+4x;

S△PCB= PQ?OB= ×(﹣x2+4x)×4=﹣2(x﹣2)2+8; 所以,当 P(2,6)时,△PCB 的面积最大. (4)存在.

抛物线 y=﹣x2+3x+4 的顶点坐标 E



直线 BC:y=﹣x+4;当 时,y=﹣ +4= ,









如图 3,过点 M 作 MN∥EF,交抛物线于点 N,设 N(x,﹣x2+3x+4),则 M(x,﹣x+4);

则 MN=|(﹣x2+3x+4)﹣(﹣x+4)|=|﹣x2+4x|;

当 EF 与 NM *行且相等时,四边形 EFMN 是*行四边形,

则|﹣x2+4x|=



,解得

( 不 合 题 意 , 舍 去 ),









,解得



则 N2(

);N3(2﹣

,﹣ +

);

综上所述,存在*行四边形,点 N 的坐标为

,N(2

);

N3(2﹣

,﹣ +

).

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【点评】考查了二次函数综合题,解题的关键是熟练掌握待定系数法可求抛物线的解析式, 等腰直角三角形的判定和性质,关于直线的对称点的性质,待定系数法求直线 B 解析式,三 角形面积公式,二次函数的最值,抛物线的顶点坐标,两点间的距离公式,*行四边形的性 质等知识点,以及方程思想,分类思想的应用,综合性较强,难度较大.
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